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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este problema, primeiro temos de entender o que é uma função periódica. Uma função deste tipo é uma função que sempre se repete, por isso periódica. E temos “”, onde será o período. Para ela ser periódica, “” tem que ser maior que “0” e obedecendo a equação:

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O exercício pede para determinar se é uma função periódica, e para encontrar o período fundamental. Este período será o menor valor de (ou o menor período). Agora vamos aplicar o a função:

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que, na função acima, substituímos por , assim, pelas propriedades trigonométricas podemos afirmar que . Deduzindo esta equação trigonométrica entendemos que: , mais uma volta completa “2π”, será igual ao próprio .

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos fazer uma comparação da função encontrada com uma função . Vamos fazer isso, criando uma identidade, assim:

Observe que dessa forma, os períodos também serão idênticos.

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Resolvendo:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, chegamos à solução do problema sendo o período , e este período, sendo o período fundamental da função .