37

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na seção 10.7 deste capítulo, estudamos a equação de onda, que ocorre com frequência na matemática aplicada. Para esse problema, vamos resolver a equação de onda e analisar a solução de diversas formas para

Assim, vamos resolver os itens (a), (b), (c), (d) e (e), com atenção. Para fazer os gráficos, vamos usar o software MapleSoft®. Vamos lá?

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Vamos começar encontrando a solução para a seguinte equação de onda:

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para essa equação, sabemos que tem o seguinte formato:

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Calculando , temos:

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fazendo integração por partes, onde , temos:

Concluímos, então, que o deslocamento para condições de contorno e é dado por:

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Vamos agora fazer alguns gráficos do deslocamento em função da posição para visualizarmos o resultado para e .

Utilizando os seguintes comandos no software MapleSoft®, desenhamos os gráficos pedidos:

Imagem 2

Observe que, nos comandos, os sinais são em inglês, e, por isso, sen, vira sin.

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos, portanto, os seguintes gráficos representando o deslocamento em função de x para alguns valores de t:

Imagem 1

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Vamos agora fazer alguns gráficos do deslocamento em função do tempo para visualizarmos o resultado para e .

Utilizando os seguintes comandos no software MapleSoft®, desenhamos os gráficos pedidos:

Imagem 5

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos, portanto, os seguintes gráficos representando o deslocamento em função de t para alguns valores de x:

Imagem 6

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Vamos agora fazer uma animação do deslocamento em função da posição evoluindo no tempo para visualizarmos o resultado para e .

Utilizando os seguintes comandos no software MapleSoft®, fazemos a animação pedida:

Imagem 8

Temos, portanto, uma animação que inicia pelo seguinte frame e tem a evolução como mostrado nos gráficos do item (b), já que não é possível visualizar animações aqui:

Imagem 9

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Como observado nos itens (b) e (d), onda inicia no formato de um triângulo isósceles com vértice positivo, evoluindo no formato de um trapézio cuja base maior se mantém fixa, a base menor aumenta com o tempo e a altura diminui com o tempo até atingir altura nula.

A partir desse momento o movimento é simétrico na parte negativa, repetindo o mesmo no sentido contrário depois de formar o triângulo isósceles inicial na parte inferior.

Aprenda agora com os exercícios mais difíceis

R$29,90/mês

Cancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Exercícios passo a passo
  • check Resumos por tópicos
  • check Disciplinas ilimitadas
  • check Ferramentas para otimizar seu tempo