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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O objetivo deste exercício é encontrar a solução da Equação de Laplace em um retângulo sob determinadas condições de contorno.

Lembrando que,

- Equação de Laplace:

- No Método de Separação de Variáveis tomamos com hipótese é um produto de duas outras funções, uma dependendo só de x e a outra dependendo só de t. Assim,

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe que, substituindo na equação diferencial parcial original, encontramos uma equação na qual as variáveis estão separadas. Ou seja, a expressão à esquerda do sinal de igualdade depende só de x e a expressão à direita depende só de t. Resultando assim, em um par de equações diferenciais ordinárias.

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Seja equação de Laplace em duas dimensões,

Com as seguintes condições de contorno,

Tomando por hipótese, , e calculando as derivadas parciais,

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo na equação diferencial parcial,

Portanto as equações diferenciais ordinárias são dadas por,

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo a hipótese nas condições de contorno homogêneas, temos

A equação , sujeito as condições de contorno acima, é um problema de autovalor, e as únicas soluções triviais são as autofunções

Associada aos autovalores

Substituindo λ na equação , temos

Com solução geral,

A condição de contorno implica que . Então .

Portanto,

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para satisfazer a condição de contorno não-homogênea em y = b, vamos supor que a solução u(x,y) pode ser representada por,

Onde os coeficientes são determinados pela condição de contorno,

e

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para encontrar a solução de

Vamos calcular ,

Substituindo na solução,

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Para a = 3 e b = 1, a solução é

Usando o software Excel, geramos o gráfico de u em função de x para diversos valores de y, apresentado na figura abaixo.

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 1

Usando o software Excel, geramos o gráfico de u em função de y para diversos valores de x, apresentado na figura abaixo.

Imagem 5

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Usando o software TecPlot, geramos o gráfico de u em função de x e de y, apresentado na figura abaixo.

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E o gráfico das curvas de nível,

Imagem 3

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.