Resolvido: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de | Cap 11.2 Ex 1P
48
Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação diferencial a ser estudada neste exercício é:

Com as condições de contorno separadas:

A análise desta equação, na busca de autofunções ortonormais, segue os procedimentos que envolvem encontrar uma solução geral e adaptá-la às condições dadas. Vamos resolvê-la, então, conforme os passos abaixo!

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Uma solução geral da equação diferencial dada é:

A condição de contorno, , exige que:

Pois:

Logo, . Usando este fato, podemos simplificar a aplicação da segunda condição de contorno que se torna:

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, usando o outro extremo, x = 1, obteremos:

Mas sabemos que o cosseno é zero no círculo trigonométrico desde que o argumento seja um múltiplo inteiro (ímpar) de . Logo, iremos escrever:

, para n = 1, 2, 3, 4, ...

Portanto, as nossas autofunções são da forma:

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Procuramos integrais de forma que:

Portanto, teremos:

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Mas a integral em si vale 1/2, qualquer que seja o valor de n escolhido. Dessa forma, os coeficientes valem:

Portanto, as autofunções serão dadas por:

Que é equivalente:

Para n inteiro: n = 1, 2, 3, 4, 5, ...

Aprenda agora com os exercícios mais difíceis

R$29,90/mês

Assine o PremiumCancele quando quiser, sem multa

Aproveite também

  • check Todos os materiais compartilhados
  • check Biblioteca com 5.000 livros, escolha 5 por mês
  • check Videoaulas exclusivas
  • check Resumos por tópicos