Resolvido: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de | Cap 11.5 Ex 1P
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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Parar resolver este problema, muito semelhante ao exemplo tratado nesta seção, vamos colocar em prática nossos conhecimentos sobre equações diferenciais parciais.

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você observou, o enunciado trata da equação de Laplace no paralelogramo cujos vértices são (0,0), (2,0), (3,2) e (1,2). Supondo que a condição de contorno no lado é para e que nos outros lados .

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Primeiramente, vamos mostrar que não existem soluções não triviais da equação diferencial parcial da forma que satisfaçam, também, as condições de contorno homogêneas.

Dado que , temos que . Contudo, para os outros dois lados, temos que e . Com isso, não podemos separar a dependência de e .

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluímos, então, que nem nem satisfazem o problema de valores de contorno homogêneo nesses pontos.

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Em seguida, dado que e , vamos mostrar que o paralelogramo dado no plano é transformado no quadrado , no plano e que equação diferencial é transformada em .

A linha é transformada para e será transformado em . Já as linhas e são transformadas em, respectivamente, e .

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Das equações dadas, observamos que e . Como foi visto, temos que:

.

Assim, obtemos um quadrado onde , com e , com .

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Finalmente, vamos demonstrar que, no plano , a equação diferencial não tem solução da forma .

Você deve substituir no resultado demonstrado no item (b) para encontrar que:

Depois, divida todos os termos por e terá:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você já notou, esse resultado não é uma equação separável. Com isso, as condições de contorno ficam da seguinte forma:

E, sabendo que :

.

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