62
Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este problema, vamos colocar em prática nossos estudos sobre resolução de equações lineares de primeira ordem.

Considerando o enunciado do exercício, temos que, após um experimento, o tanque contém 200 litros de uma solução de tinta a uma concentração de 1 g/l. Para preparar para o próximo experimento, o tanque tem que ser lavado com água fresca entrando a uma taxa de 2 litros por minuto, a solução bem misturada saindo à mesma taxa.

Então, vamos lá!

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

As variações na quantidade de tinta são devidas somente aos fluxos de entrada e saída no tanque. Mais precisamente, a taxa de variação de tinta no tanque é igual à taxa segundo o qual a tinta está entrando, menos a taxa segundo ela está saindo. Em símbolos,

taxa de entrada – taxa de saída .....(1)

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos que a taxa de entrada de tinta no tanque é igual a zero porque, após o experimento, o tanque contém 200 litros de uma solução de tinta a uma concentração de 1 g/l, como é mencionado no enunciado do exercício. Por outro lado, definindo a taxa de saída, segundo o enunciado do exercício, a água fresca entra a uma taxa de 2 litros por minuto. Assim, temos:

Taxa de entrada = 0 .....(2)

Taxa de saída .....(3)

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, substituindo (2) e (3) na equação (1), temos que a equação diferencial que governa esse processo é:

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos uma equação diferencial homogênea de solução:

.....(4)

Quando , o tanque contém 200 litros. Resolvendo, temos:

Assim, obtemos a constante da equação (4):

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para determinar o tempo necessário para que a concentração de tinta no tanque atinja 1% de seu valor original, resolvemos:

min

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a resposta é 460,5 min.