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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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Este é um problema de Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem que, como você viu no capítulo 2.4, pode ser resolvido com o Teorema 2.4.1 que garantirá a existência de uma única função solução em um intervalo para um problema de valor inicial. O enunciado pede para você determinar (sem resolver o problema) um intervalo no qual a solução de valor inicial dado certamente existe, de acordo com os dados fornecidos:

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,

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação é uma Equação Diferencial Ordinária linear de primeira ordem, portanto podemos aplicar o Teorema . De acordo com o teorema a solução de uma equação linear , submetida a condição inicial , existe em qualquer intervalo em torno de no qual as funções e são contínuas. Assim, assíntotas verticais ou outras descontinuidades da solução só podem ocorrer em pontos de descontinuidades de ou de .

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em seguida, mostramos o Teorema .

Se as funções e são contínuas em um intervalo aberto contendo o ponto , então existe uma única função que satisfaz a equação diferencial:

Para cada em e que também satisfaz a condição inicial:

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

em que é um valor inicial arbitrário dado.

Neste caso temos , :

Temo que , .

Seja ,

Precisamos levar a equação acima a forma padrão . Assim, primeiramente dividimos todos os termos da equação pelo coeficiente de .

Resultando em:

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, para determinar o intervalo no qual a solução do problema de valor inicial dada certamente existe. Note que e , estas funções tem descontinuidade para t=3. Além disso, temos no numerador de a função que tem como domínio o conjunto dos números reais positivos. Portanto, podemos dizer que o intervalo no qual a solução existe seria .

Além disso, temos que no intervalo , as funções e são contínuas e contém o ponto .

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Assim, podemos concluir que o intervalo no qual a solução do problema existe e é única é:

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.