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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos identificar a equação diferencial proposta na questão como do tipo linear, cuja solução pode ser encontrada de forma simples, caso a equação seja do tipo exata. Para isso, vamos comparar a equação com a forma geral e testar se ela é exata ou não. Caso seja exata, vamos buscar uma função que respeite as conidções de derivadas parciais equivalentes. Mãos à obra!

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação diferencial proposta no item está escrita como:

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para que a equação possa ser considerada como exata, ela precisa ser escrita na forma geral e apresentar as seguintes derivas parciais iguais:

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para esta equação, temos que:

Como as derivadas parcias são iguais, esta equação é considerada como exata.

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos supor solução de tal forma que:

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Resolvendo a primeira suposição de solução, temos que:

A função g(y) aparece na solução como o papel da cosntante de integração. Perceba que está função é anulada, no caso da derivada em relação a x.

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para descobrir o valor da função g(y), aplicamos a segunda condição:

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Resolvendo a equação diferencial, temos:

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A solução completa da equação será:

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E de forma implícita:

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