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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fique atento para resolver este problema! O método de Euler consiste em obter uma aproximação numérica à solução de equação diferencial linear, que pode escrita na forma:

O método geral implica em calcular a seguinte expressão:

Passo 2 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, o fator h é o passo da aproximação, determinando como varia o valor da variável independente t, com a expressão:

Assim, esses problemas são dependentes da condição inicial, que é expresso como:

Passo 3 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De forma geral, esse é um método interacionaísta, ou seja, o próximo valor de y dependendo do valor anterior, pela alteração h. Então, como os cálculos são longos, vamos apresentar explicitamente os cálculos para os dois primeiros valores e apresentar as soluções calculadas com o uso do Excel. Acompanhe!

Passo 4 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Então, a equação diferencial proposta no item é expressa como:

Passo 5 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste item, o passo da solução foi definido como 0,1. Dessa forma:

Passo 6 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para n igual a 0, temos que a função terá o valor:

Passo 7 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o valor de y será:

Para n igual a 1, temos que a função terá o valor:

Agora, o valor da variável t é obtido pelo incremento do passo, na forma:

Passo 8 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Retornando ao cálculo:

Assim, o valor de y será:

Passo 9 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 10 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A tabela de soluções, obtidas pelo Excel, é apresentada abaixo:

---

0

0

1

0

0,1

2

1,2

1

0,2

1,9

1,39

2

0,3

1,81

1,571

3

0,4

1,729

1,7439

Passo 11 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Agora, vamos repetir o procedimento para :

Para n igual a 0, temos que a função terá o valor:

Assim, o valor de y será:

Passo 12 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para n igual a 1, temos que a função terá o valor:

O valor da variavél t é obtido pelo incremento do passo, na forma:

Passo 13 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Retornando ao cálculo:

Passo 14 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o valor de y será:

Observe que o passo da questão foi diminido na metade. Assim, existem ao menos o dobro de valores que podem ser interpolados.

Passo 15 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a tabela de soluções, obtidas pelo Excel é apresentada abaixo:

0

0

2

1,1

1

0,05

1,95

1,1975

2

0,1

1,9025

1,292625

3

0,15

1,857375

1,38549375

4

0,2

1,81450625

1,47621906

5

0,25

1,77378094

1,56490811

6

0,3

1,73509189

1,6516627

7

0,35

1,6983373

1,73657957

8

0,4

1,66342043

1,81975059

Observe que a tabela é defasada: a cada valor de n é mostrado o próximo valor de y, que pode ser calculado. Os valores em negrito são de comparação com o do item (a).

Passo 16 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Agora, vamos repetir o procedimento para :

Para n igual a 0, temos que a função terá o valor:

Passo 17 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o valor de y será:

Para n igual a 1, temos que a função terá o valor:

Passo 18 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O valor da variavél t é obtido pelo incremento do passo, na forma:

Retornando ao cálculo:

Passo 19 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o valor de y será:

Observe que o passo da questão foi reduzido na metade do item (b). Assim, existem ao menos o dobro de valores que podem ser interpolados, em relação ao item anterior.

Passo 20 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A tabela de soluções, obtidas pelo Excel é apresentada abaixo:

0

0

2

1,05

1

0,025

1,975

1,099375

2

0,05

1,950625

1,14814063

3

0,075

1,92685938

1,19631211

4

0,1

1,90368789

1,24390431

5

0,125

1,88109569

1,2909317

6

0,15

1,8590683

1,33740841

7

0,175

1,83759159

1,3833482

8

0,2

1,8166518

1,42876449

9

0,225

1,79623551

1,47367038

10

0,25

1,77632962

1,51807862

11

0,275

1,75692138

1,56200165

12

0,3

1,73799835

1,60545161

13

Passo 21 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d)

Agora, vamos resolver a equação diferencial de forma exata, através do método do fator integrante:

Comparando com a forma geral:

Comparando as duas formas, podemos obter a relação para o fator integrante:

Passo 22 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com a função p(t) conhecida, o fator integrante resulta em:

Passo 23 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo fator integrante, de maneira que resulte em:

Passo 24 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao realizar a distribuitiva, você deve identificar que o lado esquerdo é a derivada de um produto. Então, ao realizar a integração dos dois lados, temos:

Com o valor da condição inicial, podemos obter o termo constante, de forma que:

Passo 25 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finalmente, temos que :

Passo 26 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, podemos susbituir os valores de t calculados nos item (a), (b) e (c) e comparar os valores aproximados com os exatos:

Passo 27 de 27keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A principal conclusão esse exercício é que, ao diminuirmos o passo da variável independente, podemos realizar mais interações e a resposta aproximada irá convergir para a solução exata.