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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De acordo com o enunciado, nosso problema de valor inicial (P.V.I.) é dado por:

Passo 2 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, para mostrar um P.V.I. análogo, devemos fazer uma aplicação de translação. Vamos lá?

,

onde T: RxR RxR, tal que T(2,1)=(0,0)

Passo 3 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, precisamos definir a aplicação de translação como uma função u(y) e v(t), tais que, u(2) = 0 e v(1) = 0.

Passo 4 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dessa forma, precisamos definir a aplicação na forma mais simples, isto é, um polinômio de grau um para u(y). Veja como é simples:

Passo 5 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, se u(2)=0,

Passo 6 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, c=-2 e

.

Passo 7 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, você deve realizar o mesmo procedimento para v(t).

E então, definir a aplicação na forma mais simples, isto é, um polinômio de grau um, para u(y).

Assim, se v(1)=0,

Passo 8 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, b=-1 e

.

Passo 9 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, você deve mostrar que .

Então, seja e , use a regra da cadeia:

.

Passo 10 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, substitua :

Passo 11 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E então, substitua e considere :

Passo 12 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Você ainda pode se lembrar apenas da álgebra linear que a aplicação de translação é uma isometria, isto é, uma bijeção, no caso, de RxR RxR, que preserva a distância. Vamos continuar então!

Passo 13 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como T foi definida tal que . Conclua que o P.V.I. equivalente é dado por

.

Passo 14 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, substitua , e considere :

; .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.