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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Começaremos o problema encontrando a equação característica e a solução da equação diferencial homogênea associada. Em seguida, será calculado o Wronskiano desse conjunto fundamental de soluções. Assim, o método de variação dos parâmetros será utilizado para encontrar uma solução particular da equação diferencial. Por fim, o método dos coeficientes indeterminados será usado para conferir a solução. Mãos à obra!

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação característica associada à equação homogênea é dada por:

E as suas raízes são dadas por:

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com isso, podemos escrever a solução complementar associada a equação homogênea da seguinte forma:

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

As funções e formam um conjunto fundamental de soluções. O Wronskiano associado a essas funções é:

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora podemos usar o método das variações dos parâmetros para escrever a solução particular na seguinte forma:

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em sequência, procedemos com o cálculo dos parâmetros variados e . Começando com , escrevemos:

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De forma análoga, o parâmetro variado é encontrado a seguir:

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Combinando esses resultados, podemos escrever a solução particular procurada da seguinte maneira:

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

É-nos pedido também para utilizar o método dos coeficientes indeterminados para checar a resposta. Neste caso, o termo não homogêneo na equação não está contido na solução da equação homogênea associada. Desta forma, deveríamos tentar uma solução particular do mesmo tipo da função . De fato, pelo método de variação dos parâmetros, também encontramos uma solução particular exatamente igual a .

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em resumo, a solução particular procurada é:

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