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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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Utilizaremos os conhecimentos obtidos neste capítulo do livro para resolver esta questão. Mãos à obra!

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Quando estudamos Equações Lineares é comum nos depararmos com números complexos, que podem ser representados por z = a ± b.i, com a, b ∈ R e i = .

Neste caso z = 1 + i, ou seja, a = 1 e b = 1.

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Também podemos descrever o número complexo z através de coordenadas polares, isto é:

, onde e

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Assim, temos outra forma genérica de representar z:

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Comparando com a primeira forma apresentada, temos que e .

Se já sabemos que a = 1, b = 1 e R = |z|, é fácil achar o valor .

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Primeiramente, vamos encontrar o valor de R calculando o módulo de z:

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Portanto, R =

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Substituindo os valores de a e R na equação , temos:

,ou seja:

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Portanto, ou

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Observe que também poderíamos fazer a substituição destes valores na expressão .

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Agora, organizamos a resposta final do problema. Lembre-se que deve ser expresso em radianos.

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Há ainda um detalhe: sabemos que a cada volta partindo de , temos um novo ângulo que também representa o número complexo z = 1 + i. Por isso, a resposta mais completa para este problema é , sendo que m ∈ I representa o número de voltas.