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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Este problema consiste na determinação do raio de convergência de uma série de potências, utilizando o Teste da Razão. Para fazermos isso, precisamos utilizar um procedimento semelhante ao que vimos no capítulo 5, sessão 1, nos Exemplos 1 e 2. O enunciado da questão consiste na seguinte série infinita de potências:

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando a esta série o Teste da Razão, obtemos:

Podemos simplificar o limite reescrevendo a potência de expoente n+1 como o produto de duas potências: uma potência de expoente n e uma potência de expoente 1. Então, como teremos termos idênticos no numerador e no denominador da fração, podemos cancelar estes termos e determinar o valor do limite. Temos então:

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Pronto! Resolvemos o limite. Agora, de acordo com o Teste da Razão, para que a série convirja, o valor do limite deve ser menor do que 1. Então, temos:

Resolvendo a equação modular, obtemos:

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Repare que a série de potências dada no enunciado possui um x0 igual a 3. Nós determinamos que a convergência absoluta da série de potências do enunciado é garantida para qualquer valor de x localizado entre 2 e 4, ou seja, uma unidade a mais ou a menos do valor de x0=3.

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, chegamos ao valor do raio de convergência da série infinita:

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