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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos um problema que consiste em encontrar uma solução na forma de uma série de potências em torno de um ponto para uma dada equação diferencial. Também devemos encontrar uma expressão para as soluções, além de determinarmos o Wronskiano das soluções no ponto em torno do qual as séries correspondentes as soluções foram construídas. Para fazer isso, usaremos técnicas semelhantes as aprendidas no capítulo 5, seção 2, nos exemplos 1, 2 e 3.

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observemos que o enunciado do problema nos dá a seguinte equação diferencial:

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Temos uma solução e derivadas primeira e segunda da solução em torno do ponto x0=0 dadas por:

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, igualamos as derivadas de acordo com a equação dada no enunciado:

Com isso, temos séries de termos gerais iguais, e índices de somatório iguais. Desta maneira, somamos as duas séries:

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, como expressão para o coeficiente de xn, temos:

Depois, resolvemos a expressão para an+2, e obtemos a relação de recorrência:

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Na sequência, desenvolvemos os coeficientes da série:

Assim, generalizamos e para n par temos a expressão para os coeficientes:

Para n ímpar temos a expressão para os coeficientes:

Passo 7 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, aplicamos estas expressões a solução das equações e obtemos as soluções:

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Observemos que no ponto x0=0, com constantes iguais a 1, as soluções da equação satisfazem as seguintes condições:

Assim, temos a seguinte expressão para o Wronskiano das soluções:

Portanto, no ponto x0=0, as soluções da equação consistem em um conjunto fundamental de soluções.

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Percebemos que uma das soluções possui apenas potências pares, enquanto a outra solução possui apenas coeficientes ímpares. Assim, determinamos as seguintes expressões para as soluções da equação, não levando em conta as constantes:

Caso as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico sejam expandidas, por meio de uma série de Taylor, no ponto x0=0, obteremos soluções idênticas as expressões obtidas acima. Assim, alternativamente, escrevemos: