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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Este problema consiste na determinação dos valores, no ponto x0, das derivadas sucessivas da solução de uma equação diferencial. Para resolver este problema, usaremos os resultados desenvolvidos no Capítulo 5, Seção 5.3. Acompanhe!

Passo 2 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você já sabe, o enunciado do problema nos dá a seguinte equação diferencial e as seguintes condições iniciais:

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Devemos encontrar φ’’(x0), φ’’’(x0), φ(4)(x0), sendo que y= φ(x0) é uma solução que satisfaz o problema e as condições iniciais dadas.

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Inicialmente, vamos desenvolver as expressões correspondentes às derivadas sucessivas de φ(x0). Temos:

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Da equação dada no enunciado, temos:

Portanto:

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, para determinarmos os valores das derivadas sucessivas, devemos utilizar a seguinte relação:

Passo 8 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos, então, desenvolver as derivadas e substituir esses resultados na expressão para a derivada segunda de φ(x0). Logo, podemos determinar o valor da derivada segunda de φ no ponto x0:

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fazendo o mesmo processo na expressão para a derivada terceira de φ(x0) e substituindo o valor encontrado para a derivada segunda de φ(x0), podemos determinar o valor da derivada terceira de φ no ponto x0:

Passo 10 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E, mais uma vez, fazendo o mesmo processo na expressão para a derivada quarta de φ(x0) e substituindo o valor encontrado para as derivadas primeira e segunda de φ(x0), podemos determinar o valor da derivada quarta de φ no ponto x0:

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