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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste problema, encontraremos soluções para a equação diferencial dada no enunciado, nas proximidades de um ponto singular regular. Para resolver este problema, usaremos os resultados desenvolvidos no Capítulo 5, Seção 5.5, com destaque para o método de resolução utilizado no exemplo 1. Acompanhe!

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O enunciado do problema nos dá a seguinte equação diferencial:

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Temos:

Assim, determinando os limites, temos:

Portanto, o ponto x0=0 é um ponto singular regular.

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Agora, vamos reescrever a equação, deixando na forma de uma Equação de Euler, temos:

Supondo uma solução na forma:

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos desenvolver as derivadas e substituir os resultados na equação e teremos:

Depois, desenvolvendo os primeiros termos para obtermos séries com o mesmo índice de somatório e somando as séries, teremos:

Portanto, temos a equação indicial:

Com expoentes na singularidade:

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em seguida, resolvendo a expressão dentro da série para an, obtemos a relação de recorrência:

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Fazendo r=0,5, temos:

Assim, obtemos os coeficientes:

Então, obtemos uma das soluções da equação:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d)

Fazendo r=0, temos:

Assim, obtemos os coeficientes:

Então, obtemos a solução: