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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este problema, precisamos analisar as figuras 6.3.1 e 6.3.2 da seção 6.3, que mostram que a transformada de Laplace trabalha com intervalos de tempo de e suas funções são descontínuas. Com esse entendimento, é possível obter informações importantes para a construção de gráficos da função degrau ou Heaviside.

Passo 2 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na página 275, podemos observar a função degrau ou Heaviside sendo representada por , onde o “c” será o valor do eixo das abscissas (x), correspondente ao tempo (t), logo . O valor a frente de (neste caso 1) será o eixo das ordenadas (y) e é ele quem dita o comportamento do gráfico.

Passo 3 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O enunciado dessa questão 1 na seção 6.3, pede para esboçar o gráfico no intervalo a partir da função:

......(1)

Pela equação, nota-se explicitamente, que temos , logo se , o gráfico tem os pontos do eixo x (tempo) em que a função degrau varia em 1, 3, 4. Porém, implicitamente, temos um (t=0), pois conforme a explicação no item anterior, a transformada de Laplace trabalha no intervalo de .

Passo 4 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Caso semelhante acontece para determinar os pontos do eixo y, pois explicitamente os valores a frente de são: 1, 2 e -6 respectivamente, e implicitamente temos um termo 0 em , fazendo com que o gráfico fique com os seguintes intervalos:

Passo 5 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A pergunta que pode surgir é: Os pontos do eixo y são 0, 1, 2 e -6. Por que aparecem os valores de 0, 1, 3 e -3?

A resposta é simples. Na função degrau o primeiro ponto (0) de intervalo 0 até 1 permanece o mesmo. O segundo termo é a soma do primeiro com o próprio, ou seja, primeiro ponto 0 e segundo 1, logo no intervalo de 1 até 3 o valor do eixo y é 1.

O terceiro ponto no eixo y é 2 e o segundo é 1, logo a soma é 3 no intervalo de tempo de 3 até 4, e assim sucessivamente. No caso do valor negativo o processo é o mesmo, pois o que vai ficar negativo é o eixo y, não descumprindo o item pedido na questão onde .

Passo 6 de 6keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluindo, como resposta para a questão 1 é apresentado o gráfico da função degrau ou Heaviside.

teste.jpg

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.