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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesta atividade, você estudará as funções de impulso com termos não homogêneos. Você já deve saber que a Transformada de Laplace é um operador linear que busca soluções para equações diferenciais. Assim, vamos utilizar estas informações e o exemplo 1 desta seção para ajudar na resolução deste problema.

Passo 2 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, temos como objetivo encontrar a solução para a equação diferencial .

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Assim, conhecendo as condições iniciais, iremos desenhar o gráfico que representa a solução desta equação. Então, sabemos que e .

Passo 4 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos começar com a equação e suas condições iniciais dadas por:

…(1)

Passo 5 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, temos:

Passo 6 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, ao utilizar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação (1), podemos escrever:

Passo 7 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, como a transformada é um operador linear, podemos fazer:

Passo 8 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, sabemos que (vista na seção 6.2). Dessa forma, vamos escrever as seguintes fórmulas:

Passo 9 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Também conhecemos uma transformada de Laplace de funções elementares, dada por:

Passo 10 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, para simplificar a equação , vamos utilizar as seguintes fórmulas (vistas na seção 6.2):

Passo 11 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos substituir as condições iniciais descritas na questão, e , nas fórmulas acima, da seguinte maneira:

Assim:

Passo 12 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, reescrevendo teremos:

…(2)

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Por fim, podemos aplicar a transformada inversa nos dois lados da equação (2). Logo:

Passo 14 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E ao utilizar a propriedade da transformada podemos reescrever:

Passo 15 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, como resposta, teremos:

Passo 16 de 16keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por último, com a solução da equação (1), podemos desenhar o gráfico da solução. Então:

Imagem 1