Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015
William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357Elaborado por professores e especialistas
Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Para resolver este exercício, vamos provar as propriedades da convolução a partir de sua definição:
Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Vai ser fácil!
Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
(a)
Primeiro, vamos demonstrar a propriedade de comutatividade, isto é:
Pela definição, temos:
Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Agora, vamos fazer a mudança de variável :
Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Em seguida, vamos inverter os limites e trocar o sinal:
Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade comutativa.
Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
(b)
Aqui, vamos demonstrar a propriedade de distributividade, isto é:
Pela definição, temos:
Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Como você sabe, a integral da soma pode ser separada como a soma das integrais:
Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade distributiva.
Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
(c)
Neste item, vamos demonstrar a propriedade de distributividade, isto é:
Pela definição, temos:
Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Fazendo :
Em seguida, invertendo a ordem das integrais, temos que inverter a dependência dos limites:
Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade associativa.
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