Para resolver este exercício, vamos provar as propriedades da convolução a partir de sua definição:

Vai ser fácil!

(a)

Primeiro, vamos demonstrar a propriedade de comutatividade, isto é:

Pela definição, temos:

Agora, vamos fazer a mudança de variável :

Em seguida, vamos inverter os limites e trocar o sinal:

Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade comutativa.

(b)

Aqui, vamos demonstrar a propriedade de distributividade, isto é:

Pela definição, temos:

Como você sabe, a integral da soma pode ser separada como a soma das integrais:

Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade distributiva.

(c)

Neste item, vamos demonstrar a propriedade de distributividade, isto é:

Pela definição, temos:

Fazendo :

Em seguida, invertendo a ordem das integrais, temos que inverter a dependência dos limites:

Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade associativa.