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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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Para resolver este exercício, vamos provar as propriedades da convolução a partir de sua definição:

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vai ser fácil!

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Primeiro, vamos demonstrar a propriedade de comutatividade, isto é:

Pela definição, temos:

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos fazer a mudança de variável :

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em seguida, vamos inverter os limites e trocar o sinal:

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade comutativa.

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Aqui, vamos demonstrar a propriedade de distributividade, isto é:

Pela definição, temos:

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você sabe, a integral da soma pode ser separada como a soma das integrais:

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade distributiva.

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Neste item, vamos demonstrar a propriedade de distributividade, isto é:

Pela definição, temos:

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fazendo :

Em seguida, invertendo a ordem das integrais, temos que inverter a dependência dos limites:

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fica, portanto, demonstrado pela definição de convolução que , ou seja, a propriedade associativa.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.