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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Este problema consiste na determinação de uma solução para um sistema de equações diferenciais na forma de uma combinação de funções reais. Para chegarmos à solução, usaremos as técnicas mostradas nos exemplos do Capítulo 7, Seção 6, com destaque para o Exemplo 1. Também plotaremos o campo de direções correspondente ao sistema de equações dado, analisando o comportamento das trajetórias. Para fazer isso, usaremos o software livre Winplot. Mãos à obra!

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O enunciado nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Conforme os resultados descritos no capítulo 7, procuraremos por soluções na forma:

Onde ξ representa um autovalor associado ao autovalor r da matriz dada no sistema de equações.

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A matriz possui os seguintes autovalores complexos conjugados:

A esses autovalores, estão associados os respectivos autovetores complexos:

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, de acordo com os resultados desenvolvidos na seção 7.6, temos as soluções linearmente independentes:

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você observou, o conjunto de soluções difere apenas pelas constantes multiplicativas associadas a cada solução linearmente independente. Assim, temos a seguinte solução geral:

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Agora, utilizando o software Winplot para plotar as trajetórias, obtemos o resultado:

Imagem 1

Perceba que todas as trajetórias se afastam da origem, tendendo ao infinito conforme t tende ao infinito, o que é esperado, visto que a parte real dos autovalores é positiva. Em vermelho, estão plotadas as trajetórias específicas para a parte real e imaginária dos autovetores associados à matriz do sistema de equações. A origem do sistema de coordenadas consiste em um ponto espiral instável.

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