Resolvido: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de | Cap 7.7 Ex 1P
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Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard Diprima IBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nosso objetivo neste exercício é encontrar uma matriz fundamental , que satisfaça , para o sistema de equações .

Passo 2 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Vamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz , que satisfazem a equação:

.

Passo 3 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Os valores permitidos para são encontrados pela equação:

Assim, as raízes são e .

Passo 4 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o autovalor , temos a equação:

.

Logo, e o autovetor correspondente a pode ser escolhido como .

Passo 5 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Analogamente, correspondendo a , encontramos que , de modo que o autovetor é .

Passo 6 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

As soluções correspondentes da equação diferencial são:

,

Portanto:

.

Passo 7 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Como , então temos que:

Dessa forma, a solução que satisfaz o primeiro conjunto de condições iniciais é:

Passo 8 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Analogamente, obtemos a solução que satisfaz o segundo conjunto de condições iniciais. Veja:

Passo 9 de 9keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a matriz fundamental é dada por:

Ou seja:

.

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