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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este problema, devemos desenhar um campo de direções para o sistema de EDO’s lineares homogêneas com a ajuda de um software matemático. Por meio da análise do campo de direções, vamos descrever como a solução se comporta quando .

Para chegarmos à solução geral do sistema de n equações na forma:

. ( 1 )

Encontraremos os autovalores e os autovetores da matriz A através do sistema de equações algébricas:

, ( 2 )

Cujas soluções são da forma:

. ( 3 )

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você já deve ter percebido, a matriz A tem autovalores repetidos (multiplicidade algébrica ). E se encontrarmos um número de autovetores associados a esse autovalor repetido menor que m, precisaremos encontrar as soluções linearmente independentes restantes na forma:

, ( 4 )

Que resulta em:

( 5 )

Acompanhe a solução!

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiramente, observe o campo de direções da equação , utilizando o software MAPLE:

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Campo 1

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como você observou no campo de direções do item (a), a origem é um nó assintoticamente instável. Assim, após determinarmos a solução geral do sistema de equações no item (c), podemos verificar que:

.

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Isso significa que as soluções (exceto a solução trivial) divergem para infinito através de linhas de inclinação quando .

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Como você já deve saber, para encontrar a solução geral do sistema , vamos determinar os autovalores e autovetores de .

Os autovalores r e autovetores satisfazem a equação , ou

. ( 6 )

Os autovalores são as raízes da equação:

Você já deve ter concluído que a única raiz dessa equação é , que é um autovalor de multiplicidade 2.

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos substituir esse autovalor na matriz de coeficientes da equação (6):

,

O que reduz o sistema a uma única equação:

.

O autovetor correspondente é

Uma solução desse sistema de equações é .

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Depois, para obter a segunda solução linearmente independente, assumiremos que . Sabemos que . Então, deve satisfazer a equação (5):

, ou:

.

Esse sistema se reduz a . Definindo , uma constante arbitrária, temos que .

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Uma segunda solução é:

.

Uma vez que o último termo é um múltiplo da primeira solução, ele pode ser ignorado. Portanto, a solução geral é:

.

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