Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015
William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357Elaborado por professores e especialistas
Passo 1 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Para resolver este problema, vamos colocar em prática nossos estudos sobre métodos numéricos, especificamente o método de Runge-Kutta. Então, vamos considerar o enunciado do exercício e encontrar um valor aproximado em t=0,4 e 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta.
Então, vamos resolver os itens propostos!
Passo 2 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
a)
Agora, ao usar a notação , a fórmula de previsão é:
Passo 3 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Então, temos que , e a fórmula de correção é:
Passo 4 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Assim, aplicando o método de Runge-Kutta, obtemos:
Para n=0, e tn=0,0, temos 1,0
Para n=1, e tn=0,1, temos 1,19516
Para n=2, e tn=0,2, temos 1,38127
Para n=3, e tn=0,3, temos 1,55918
Passo 5 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Agora, temos:
Para n=4(pre), e tn=0,4, temos 1,72986801
Para n=4(cor), e tn=0,4, temos 1,72986801
Para n=5(pre), e tn=0,5, temos 1,89346436
Para n=5(cor), e tn=0,5, temos 1,89346073
Passo 6 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Portanto, a resposta do item (a) é:
1,72986801; 1,8934697.
Passo 7 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
b)
Agora, usando , a fórmula de Adams-Moulton é:
Passo 8 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Então, temos que . Portanto, a equação é não linear e será necessário um solucionador da equação para aproximar a solução em cada passo de tempo.
Passo 9 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Assim, temos:
Passo 10 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Então, obtemos os seguintes valores:
Para n=4, e tn=0,4, temos 1,7296800
Para n=5, e tn=0,5, temos 1,8934695
Passo 11 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Portanto, a resposta do item (b) é:
1,7296802; 1,8934698.
Passo 12 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
c)
Então, temos a equação diferencial ordinária é não linear:
Passo 13 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Para n=4, e tn=0,4, temos 1,7296805
Para n=5, e tn=0,5, temos 1,8934711
Passo 14 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Portanto, a solução exata do problema de valor inicial é dada pela seguinte equação:
Passo 15 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up
Portanto, a resposta do item (c) é:
1,7296805; 1,8934711.
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