Para resolver este problema, vamos colocar em prática nossos estudos sobre métodos numéricos, especificamente o método de Runge-Kutta. Então, vamos considerar o enunciado do exercício e encontrar um valor aproximado em t=0,4 e 0,5 usando o método especificado. Para os valores iniciais, use o método de Runge-Kutta.

Então, vamos resolver os itens propostos!

a)

Agora, ao usar a notação , a fórmula de previsão é:

Então, temos que , e a fórmula de correção é:

Assim, aplicando o método de Runge-Kutta, obtemos:

Para n=0, e t_n=0,0, temos 1,0

Para n=1, e t_n=0,1, temos 1,19516

Para n=2, e t_n=0,2, temos 1,38127

Para n=3, e t_n=0,3, temos 1,55918

Agora, temos:

Para n=4(pre), e t_n=0,4, temos 1,72986801

Para n=4(cor), e t_n=0,4, temos 1,72986801

Para n=5(pre), e t_n=0,5, temos 1,89346436

Para n=5(cor), e t_n=0,5, temos 1,89346073

Portanto, a resposta do item (a) é:

1,72986801; 1,8934697.

b)

Agora, usando , a fórmula de Adams-Moulton é:

Então, temos que . Portanto, a equação é não linear e será necessário um solucionador da equação para aproximar a solução em cada passo de tempo.

Assim, temos:

Então, obtemos os seguintes valores:

Para n=4, e t_n=0,4, temos 1,7296800

Para n=5, e t_n=0,5, temos 1,8934695

Portanto, a resposta do item (b) é:

1,7296802; 1,8934698.

c)

Então, temos a equação diferencial ordinária é não linear:

Portanto, a equação é não linear e é necessário um solucionador da equação para aproximar a solução em cada passo de tempo:

Para n=4, e t_n=0,4, temos 1,7296805

Para n=5, e t_n=0,5, temos 1,8934711

Portanto, a solução exata do problema de valor inicial é dada pela seguinte equação:

Portanto, a resposta do item (c) é:

1,7296805; 1,8934711.