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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolvermos este problema, vamos colocar em prática nossos estudos sobre equações diferenciais não lineares e estabilidade tratados no capítulo 9 do livro.

Considerando o enunciado do exercício, vamos resolver os itens propostos para:

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Vamos encontrar os autovalores e autovetores da equação dada:

Definindo, resultam as equações algébricas. Assim, a solução da equação diferencial ordinária requer análise das equações algébricas.

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para uma solução diferente de zero, devemos ter:

As raízes da equação característica são:

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o sistema de equações reduz-se a . Assim, o correspondente autovetor é .

A substituição de resulta na equação . Assim, o correspondente autovetor é .

Portanto, a resposta do item (a) é .

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Vamos classificar o ponto crítico (0,0) em relação ao tipo e determinar se é estável, assintoticamente estável ou instável.

Temos que os autovalores são reais com , portanto, o ponto crítico é um ponto de sela e é instável.

Deste modo, a resposta do item (b) é ponto de sela, instável.

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

O esboço de distintas trajetórias no plano de fase e alguns gráficos típicos de em função de são apresentados a seguir:

Imagen 4

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Os gráficos típicos de em função de são apresentados a seguir:

Imagen 5

Imagen 6

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