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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para a resolução desse exercício, precisamos analisar os passos da página 432, onde é mostrada a teoria para aproximações lineares de sistemas não lineares, que é considerado um sistema autônomo bidimensional não linear , investigando seu comportamento em torno do ponto crítico.

Passo 2 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Quando é considerado um sistema não linear próximo de um sistema linear, temos que:

......(1)

Em que é um ponto crítico isolado da equação (1), significando que existe algum círculo em torno da origem no interior do qual não existem outros pontos críticos.

Passo 3 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos supor, então, que e que é um ponto crítico isolado do sistema linear . Supondo, ainda, que o sistema não linear (equação 1) esteja próximo do sistema linear , é pequeno, ou seja, as componentes de g têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas e satisfaz a condição:

quando ......(2)

Sendo pequeno em relação a quando está perto da origem. Esse sistema é, então, chamado de localmente linear próximo do ponto crítico .

Passo 4 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação 2 pode ser escrita em forma escalar, se . Então:

Passo 5 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

.

Passo 6 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dessa forma, a equação 2 será satisfeita se, e somente se:

Passo 7 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

quando ...... (3)

Passo 8 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Resolvendo o exercício, temos que escrever o sistema na forma da equação 1, ou seja:

......(4)

Como ......(5)

Usando coordenadas polares, teremos:

e ......(6)

......(7)

Assim, conclui-se que o sistema é quase-linear.

Passo 9 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A origem é um ponto crítico isolado do sistema linear, logo:

Passo 10 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

......(8)

Passo 11 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A equação característica do coeficiente da matriz é:

Passo 12 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

,

Passo 13 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

com raízes e .

Passo 14 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Esse ponto crítico é o ponto de sela, no qual é instável.

Passo 15 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a resposta final para o exercício é: Equação quase-linear (linear e não-linear); ponto de sela; instável.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.