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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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O problema apresentado descreve a interação de duas espécies com populações x e y. Devemos analisar essa interação conforme o que se pede em cada item.

Passo 2 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Neste item, vamos usar o software OriginPro para desenhar o gráfico do campo de direções dessa interação. Aplicando ao programa as equações dadas, temos:

Imagem 1

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Como podemos observar, as direções apontam para uma região no centro do primeiro quadrante, próximo a curva .

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(b)

Para o item (b), os pontos críticos são dados pelas soluções do sistema de equações dado a seguir:

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Resolvendo o sistema, os pares de solução, que são os pontos críticos, são:

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(c)

Neste item, a matriz Jacobiano para o campo vetorial é:

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Fazendo essa matriz para o ponto crítico , temos:

Passo 8 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja que os autovalores e autovetores desse ponto crítico são:

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Como os autovalores são positivos, a origem é um nó instável.

Passo 10 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Já para o ponto , o Jacobiano se torna:

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Dessa forma, os autovalores e autovetores são:

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Assim, concluímos que esse ponto crítico é instável, uma vez que os autovalores são de sinais opostos.

Passo 13 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o próximo ponto crítico , temos o seguinte Jacobiano:

Passo 14 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, os autovalores e autovetores desse ponto são:

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Assim, concluímos que esse ponto crítico é instável, uma vez que os autovalores são de sinais opostos.

Passo 16 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o último ponto crítico , temos:

Passo 17 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dessa forma, os autovalores e autovetores desse ponto são:

Passo 18 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja que os autovalores são ambos negativos, portanto o ponto crítico é um nó estável, que é assintoticamente estável.

Passo 19 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Para este item, vamos esboçar um gráfico com as trajetórias em vizinhança de cada ponto crítico com o mesmo programa utilizado anteriormente, veja:

Imagem 2

Passo 20 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Neste item, podemos observar no gráfico anterior, em azul, como cada curva se comporta para cada solução (cada ponto crítico).

Passo 21 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(f)

Passo 22 de 22keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que, exceto pelas condições iniciais, que se encontram nos eixos de coordenadas, todas as trajetórias convergem para o nó estável em .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.