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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O sistema abordado nesse exercício descreve uma situação de duas espécies em competição.

Passo 2 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

O campo de direções desse sistema será conforme a figura a seguir feita no software MapleSoft®.

Imagem 5

Imagem 1

Analisando a figura podemos intuir que as trajetórias são curvas fechadas em torno de um ponto critico.

Passo 3 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Os pontos críticos do sistema são soluções do sistema de equações, que é obtido por:

Na primeira equação temos que , logo podemos afirmar que ou .

Passo 4 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Se , a segunda equação torna-se , daí temos que , portanto é ponto crítico do sistema de equações diferenciais ordinárias, em estudo.

Se , a segunda equação torna-se , daí temos que , daí obteremos que é ponto critico do sistema de equações diferenciais ordinárias em estudo.

Passo 5 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Note que para calcular a matriz jacobiana do sistema teremos que obter as derivadas parciais das funções e , primeiramente note que , , desta forma obteremos que , , , . Logo a matriz jacobiana será da forma:

Passo 6 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em torno de , o sistema linear associado será da forma:

Os autovalores associados à matriz dos coeficientes do sistema acima são , então é um ponto de sela tanto para o sistema linear associado a uma vizinhança sua, quanto para o sistema não linear.

Passo 7 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em torno de , o sistema linear associado será da forma:

Passo 8 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Os autovalores associados à matriz dos coeficientes do sistema acima são , então é um centro para o sistema linear associado a uma vizinhança sua, quanto para o sistema não linear é um centro ou um ponto espiral com estabilidade indeterminada.

Passo 9 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Vejamos primeiramente um esboço das trajetórias em torno de , feita no software MapleSoft®.

Imagem 6

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Imagem 7

Passo 11 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora observe um esboço das trajetórias em torno de , que é o outro ponto critico desse sistema.

Imagem 8

Imagem 9

Passo 12 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Vejamos o retrato de fase do sistema, usando o software MAPLE.

Imagem 10

Imagem 11

Passo 13 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(f)

A partir dos estudos feitos podemos concluir que quando estão presentes as duas populações, ou seja, as duas têm representantes, quando , elas variam ciclicamente. Quando a presa está em vantagem populacional com relação ao predador, a tendência é que a população de predadores aumente devido à grande quantidade de alimentos, até chegar ao ponto em que a população de predadores seja infinitamente superior à de presas, gerando assim escassez de alimentos, fazendo então com que diminua a população de predadores e assim sucessivamente, a menos que haja uma interferência externa.

Passo 14 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Se considerarmos o sistema que estamos analisando e dividir uma equação pela outra temos que:

Integrando em ambos os lados teremos que:

Que se for traçado usando o método gráfico de Volterra, poderá ser constatado que sem trata de uma curva fechada.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.