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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O objetivo deste exercício é construir uma função de Liapunov adequada. Além disso, mostrar que o ponto crítico na origem é assintoticamente estável.

Lembre-se que:

Para V(x,y) uma função definida em um domínio D contendo a origem. Assim, a função V(x,y) é dita:

- Positiva definida em D se V(0,0) = 0 e V(x,y) > 0 em D. Se a desigualdade for ≥, então, é dita positiva semidefinida.

- Negativa definida em D se V(0,0) = 0 e V(x,y) < 0 em D. Se a desigualdade for ≤, então, é dita negativa semidefinida.

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Defina: . Com isso, terá que o ponto crítico é:

- Assintoticamente estável: V é positiva definida e é negativa definida.

- Estável: V é positiva definida e é negativa semidefinida.

- Instável: V é positiva (negativa) definida e é positiva (negativa) definida.

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o sistema de equações diferenciais:

Seja a função de Liapunov ,

(1)

(2) para qualquer ponto do domínio.

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De (1) e (2), você terá que a função é positiva definida.

Com isso, defina a derivada de V(x,y):

Então:

(1)

(2) para qualquer ponto do domínio.

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De (1) e (2), terá que a função é negativa definida.

Como V(x,y) é positiva definida e é negativa definida em um domínio contendo a origem. Assim, terá que o ponto crítico (0,0) é assintoticamente estável.

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