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Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - 10ª Ed. 2015

William Boyce, Richard DiprimaIBSN: 9788521627357

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste problema, vamos analisar os fatores relacionados à equação (8) do livro em relação aos seus autovalores e autovetores, isto é:

Passo 2 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos lá?

Passo 3 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Vamos demonstrar que a equação (10) descreve os autovalores do sistema dado pela equação (8), isto é, que as expressões a seguir descrevem os autovalores da matriz acima mostrada:

Passo 4 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para essa demonstração vamos calcular os autovalores diretamente pelo determinante. Assim:

Passo 5 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos um produto nulo, portanto, cada fator pode ser nulo separadamente:

Passo 6 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluímos, então, por cálculo direto dos autovalores por determinante da matriz de coeficientes, que os autovalores são como descritos pelas equações (10):

Passo 7 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Vamos determinar os autovetores associados aos autovalores calculados no item (a). Para isso, vamos usar a definição, isto é, dado um autovalor , o autovalor relacionado é dado por e obedece à seguinte relação:

Sendo a matriz de coeficientes do sistema.

Passo 8 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos um genérico com três elementos (matriz 3x3) para os cálculos:

Passo 9 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, vamos escrever essa equação vetorial em forma de sistema de equações lineares:

Passo 10 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos, então, começar por :

Passo 11 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos agora para :

Quaisquer valores de que satisfaçam essa relação podem ser utilizados, particularmente:

Passo 12 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluímos, portanto, usando a definição de autovetor, que, sendo o autovetor correspondente ao autovalor , então:

Passo 13 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Vamos tomar e determinar os autovalores e autovetores correspondentes utilizando as expressões deduzidas nos itens (a) e (b).

Passo 14 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o primeiro par de autovalor / autovetor, temos que ambos independem de , portanto:

Passo 15 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o segundo par de autovalor / autovetor, temos:

Passo 16 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o terceiro e último par de autovalor / autovetor, temos:

Passo 17 de 17keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluímos, então, que os pares de autovalores / autovetores para são, usando os resultados dos itens anteriores:

.

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