Resolvido: Equações Diferenciais Vol. 1 | Cap 2.8 Ex 1E
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Equações Diferenciais Vol. 1

Exercícios resolvidos: Equações Diferenciais Vol. 1

Dennis Zill, Michael Cullen IBSN: 9788534612913

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Esse problema do valor inicial pode ser resolvido pelo método de Picard, ou seja, pelo método de aproximações sucessivas. O enunciado da questão pede para encontrar quatro aproximações.

Então, primeiro, devemos identificar , e

Assim, definimos o enésimo termo pela relação:

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A partir do termo geral, vamos mostrar as quatro aproximações. Antes disso, vamos calcular a primeira aproximação:

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Em seguida, calculamos a segunda aproximação:

Buscamos ainda a terceira aproximação:

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finalmente, calculamos a quarta aproximação:

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considerando a sequência de funções , a última tarefa é estudar o limite pontual.

Ou seja, precisamos calcular o seguinte limite:

Pelo cálculo das quatro aproximações, temos uma ideia do enésimo termo. A partir disso, provamos por indução que:

Como sabemos que , o resultado do limite é:

Ou seja, é a solução do problema do valor inicial.

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