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Exercícios resolvidos: Estatística Aplicada e Probabilidade Para Engenheiros - 5ª Ed. 2012

George Runger, Donald MontgomeryIBSN: 9788521619024

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para mostrarmos que uma função satisfaz as propriedades de uma função de probabilidade conjunta, devemos observar que todo par (x, y) tem imagem maior ou igual a zero e que o somatório das probabilidades é igual a 1. A partir da tabela apresentada no enunciado, observamos que a primeira característica é atendida e todos os valores da terceira coluna, e temos que:

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Para calcularmos , temos de observar que e . No entanto, atendem a essas restrições somente os pares (1; 1) e (1,5; 2). Então:

Portanto, concluímos que .

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Para determinarmos , vamos considerar todos os pares (x, y) para os quais. Esses pares são , e . Então, temos que:

Portanto, concluímos que .

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Para determinarmos , consideraremos todos os pares (x, y) para os quais. Esses pares são e. Logo, teremos:

Portanto, concluímos que .

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Para determinarmos , o par a ser considerado é. Logo, temos que:

Portanto, concluímos que .

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

Aplicando as definições de valor esperado e variância, temos que:

A média de Y é:

Para a variância de X, temos:

Analogamente, a variância de Y é determinada conforme indicamos a seguir:

Logo, concluímos que ,, e são, respectivamente, 1,8125, 2,875, 0,496094 e 1,859375.

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(f)

Para determinarmos a distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória X, consideraremos somente os valores de X, agrupando aqueles repetidos. Assim, temos a seguinte tabela:

Imagem 8

Concluímos, então, que a distribuição marginal da variável X apresenta 4 pares cujas probabilidades são 1/4, 3/8, 1/4 e 1/8.

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(g)

Para determinarmos a distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X = 1,5, consideraremos apenas os pares (x, y) para os quais X = 1,5. No entanto, as probabilidades a serem consideradas devem levar em consideração somente esses pares. Assim, a tabela a ser construída tem como probabilidades os seguintes valores:

Logo, a tabela com as probabilidades condicionadas a X = 1,5 será:

Imagem 7

Assim, a distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X = 1,5, apresenta somente dois pontos, e .

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(h)

A distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y = 2, tem somente um ponto, . Logo, a probabilidade da ocorrência desse ponto é 1.

Imagem 6

Portanto, concluímos que .

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(i)

Para determinarmos , utilizaremos a distribuição de probabilidades de Y, dado que X = 1,5, apresentada no item (g).

Imagem 5

Sendo assim, temos que:

Portanto, concluímos que .

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(j)

Como existem dois pares diferentes para os quais X = 1,5, não podemos afirmar que X e Y são independentes.

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.