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Física para Cientistas e Engenheiros - Volume 1

Exercícios resolvidos: Física para Cientistas e Engenheiros - Volume 1

Gene Mosca, Paul Allen Tipler IBSN: 9788521617105

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiramente, devemos ter bem claro o conceito de densidade. Saiba que a densidade, comumente denotada por , é a razão entre a massa e o volume de um mesmo objeto, conforme a fórmula na equação (1).

......(1)

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Conforme você viu no enunciado, cada um dos hemisférios, de volume idêntico, tem sua própria massa específica, podendo ser expressas pelas Equações (2) e (3) abaixo, respectivamente:

......(2)

......(3)

Acompanhe!

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Veja que, graficamente, a situação pode ser representada pela figura abaixo, em que o círculo plano deve ser entendido como uma esfera, e os hemisférios (A) e (B) têm volume idêntico.

Imagem 6

Prosseguindo...

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observe que a junção das duas partes para formar um único sólido, resultará num sólido com uma massa específica própria, expressa pelas fórmulas a seguir:

......(3)

Em que:

......(4)

E

......(5)

Mas como

......(6)

Vamos chamar de um volume genérico cujo valor ou fórmula de cálculo geométrico serão irrelevantes, então, teremos:

......(7)

Continuando...

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Realizando-se as substituições das equações (4) e (7) na Equação (3), vamos ver que uma forma interessante de representar a densidade do sólido resultante é:

......(8)

......(9)

E vamos adiante...

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Considerando a relação da equação (6), podemos reescrever as equações (2) e (3) utilizando a notação de volume genérico , veja a seguir:

......(10)

Assim como temos:

......(11)

Prosseguindo...

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo as equações (10) e (11) na equação (9), vamos ter:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, saiba que a proposição de que a densidade observada em qualquer ponto da esfera resultante é igual à média aritmética das densidades dos hemisférios que a compõem, é verdadeira. Mas veja que essa situação deve ser vista com cautela, já que isso é verdade para esse caso, mas não é um enunciado genérico, aplicável a todos os casos em que se juntem sólidos de densidades diferentes para formar outro objeto.

Muito bem!

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