Resolvido: Física para Cientistas e Engenheiros - Volume 1 | Cap 7.7 Ex 1PRP
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Física para Cientistas e Engenheiros - Volume 1

Exercícios resolvidos: Física para Cientistas e Engenheiros - Volume 1

Gene Mosca, Paul Allen Tipler IBSN: 9788521617105

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O problema é complementar ao exemplo 7.7 do livro e tem como objetivo a determinação da altura em relação ao solo que estará o saltador, quando se igualarem as forças tensão para cima e peso para baixo.

Passo 2 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sabemos que:

* o peso do saltador é de 100 kg;

* a altura do ponto de referência é de 134 metros;

* o comprimento do elástico em repouso é de 40 m;

* a máxima distensão da corda é 80 m.

Passo 3 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver o problema, vamos utilizar a definição de energia cinética, dada pela Equação 1. Veja:

......(1)

Também iremos utilizar a definição de energia potencial gravitacional, dada pela Equação 2, abaixo:

......(2)

Passo 4 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E para determinação dos efeitos resultantes das forças aplicados sob um corpo, a Força resultante, dada pela Equação 3, a seguir:

......(3)

A definição de aceleração centrípeta é dada pela Equação 4:

......(4)

E a definição de energia potencia elástica, dada pela Equação 5.

......(5)

Passo 5 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Interpretando a questão, podemos compreender como uma queda livre os primeiros 40 m de queda, já que é o máximo comprimento do elástico ainda em sua posição estável. A partir deste momento, temos a força elástica agindo contra o movimento de queda, o que fará com que o saltador pare momentaneamente na posição 120 m abaixo do ponto do salto.

Ou seja, dentre este intervalo de 40 e 120 m, é desenvolvida a máxima velocidade e neste ponto teremos exatamente o que o problema deseja: o instante ou a altura em que o puxão da corda para cima se iguala ao puxão da gravidade para baixo.

Passo 6 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos ilustrar o problema conforme a figura abaixo. Veja que esta é uma representação esquemática da situação proposta pelo problema, sendo L altura total da ponte; d, o comprimento do cabo não distendido, e a deformação elástica do cabo; e h, a altura de diferença entre a saltadora e o nível do rio após atingir um novo repouso.

Imagem 2

Passo 7 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos, então, considerar uma relação básica entre todos os comprimentos envolvidos no movimento. Observando a Figura 1, podemos afirmar a seguinte relação:

Como desejamos o valor de h, já deixe esta expressão pronta para o seu cálculo, que é a seguinte:

Passo 8 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, partindo da conservação de energia, temos:

na qual 1 significa a saltadora sobre a ponte, e 2 a saltadora já em repouso, após o término de seu salto.

Passo 9 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como estamos trabalhando com duas situações em repouso, a velocidade é nula. Logo, a energia cinética é nula também:

Assim, sabemos que no instante 1, sobre a ponte, a saltadora está no nível de altura de referência, e sua energia potência será nula.

Passo 10 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E, por sua vez, a energia potencial ao término do movimento é função da energia potencial gravitacional e a energia elástica. Por isso, vamos reescrever a expressão da seguinte maneira:

Passo 11 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Perceba que e é a máxima distância na qual a corda do bungee-jump pode ser deformada (esticada).

Na sequência, vamos utilizar a última expressão obtida, e isolar para o fator k do cabo. Então:

Passo 12 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituindo pelos valores que temos, calculamos tal constante, a máxima distensão é dada pelo próprio exercício como 120 m. Portanto:

Passo 13 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O próximo passo é desenvolver a avaliação de forças agindo sobre o corpo do saltador neste exato instante em que os puxões irão ser iguais, ou seja, a força resultante sobre ele será nula.

Com isso, podemos expressar da seguinte maneira:

E, substituindo os valores, teremos:

Passo 14 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desta maneira, obtemos o afastamento do saltador em relação ao solo nas condições propostas pelo exercício. Note que a resposta dada pelo livro é 53 m. Essa diferença decimal se deve ao número de significativos utilizados nos cálculos.

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