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Fundamentos de Circuitos Elétricos - 5ª Ed. 2013

Exercícios resolvidos: Fundamentos de Circuitos Elétricos - 5ª Ed. 2013

Charles Alexander IBSN: 9788580551723

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Calcule cada uma das seguintes funções e verifique se ela é periódica. Se for periódica, determine seu período.

(a) f(t) = cos π t + 2 cos 3πt + 3 cos 5πt


(b) y(t) = sen t + 4 cos 2πt


(c) g(t) = sen 3t cos 4t


(d) h(t) = cos2 t


(e) z(t) = 4,2 sen(0,4 π t + 10°) + 0,8 sen(0,6πt + 50°)


(f) p(t) = 10


(g) q(t) = eπt

Passo 1 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse exercício, lembre-se de que, para a função ser periódica, ela tem de obedecer a:

Isso significa que há um T (período) que faz com que a função volte ao ponto inicial .

De acordo com o teorema de Fourier, você poderá expressar qualquer função periódica na forma de soma de funções seno ou cosseno com múltiplos inteiros da frequência fundamental ().

Assim, você poderá expressar:

......(1)

Ou

......(2)

Também observe que:

......(3)

Onde:

= Frequência fundamental

T = Período

Passo 2 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Note, ainda, que há uma periodicidade entre os coeficientes.

Pela fórmula (1), analise que:

com

Passo 3 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A partir dessa análise, verá que a função é da forma:

Poderá concluir que a função é periódica.

Depois, por meio da fórmula (3), você obterá:

Então, o período de é 2.

Passo 4 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

A função é uma soma de funções periódicas, mas a soma dessas funções não a mantém periódica, pois não há como associar a função com a fórmula (1). Portanto, não é periódica.

Passo 5 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

A multiplicação das funções seno e cosseno poderá ser expressa da seguinte maneira:

Sendo assim, note que:

Passo 6 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com isso, a função é uma soma da forma:

Onde , o que a torna periódica.

Passo 7 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Por fim, você perceberá que o período é dado como:

Logo, o período de é .

Passo 8 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Pela identidade trigonométrica:

Então:

Com isso, veja que a função é uma soma da forma:

Onde , o que a torna periódica.

Passo 9 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Note que a constante é o da equação (1).

E o período é dado como:

Portanto, o período de é .

Passo 10 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(e)

é uma soma da forma:

Onde:

Agora, você terá de achar um número que seja divisível pelas duas frequências obtidas anteriormente para achar um termo comum entre as duas frequências.

Dessa forma, obterá:

E concluirá que a frequência de é:

Consequentemente, é uma função periódica.

O período é dado como:

Logo, o período de é 10.

(f)

Qualquer função constante não pode ser considerada periódica, portanto não é periódico.

Passo 11 de 11keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(g)

Finalmente, você constatará que, para uma função exponencial neperiana ser periódica, deve vir da forma:

.

Como , a função não é periódica.

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