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Geometria Analítica
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Exercícios resolvidos: Geometria Analítica

Paulo Winterle, Alfredo SteimbruchIBSN: 9780074504093

Elaborado por professores e especialistas

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Passo 1 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este problema proposto, vamos nos lembrar do que aprendemos no capítulo 8, sobre superfícies quádricas para reduzir as equações listadas para a sua forma canônica. Também vamos precisar de um software para plotar os gráficos de cada equação quádrica identificada.

Você pode usar o Winplot, que possui vários tutoriais em português na internet. O programa tem vários usos, e também constrói gráficos, inclusive em duas e três dimensões, com base em funções elementares e também funções de uma ou duas variáveis. É fácil de usar, então vamos lá?

Acompanhe!

Passo 2 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a)

Primeiro, vamos reduzir à forma canônica .

E, agora, dividir por .

Assim, encontramos a equação de um elipsoide. Veja como fica graficamente:

Imagem 1

Passo 3 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b)

Primeiro, reduzir à forma canônica:

.

Vamos simplificar, dividindo por :

Assim, encontramos a equação de um hiperbolóide de uma folha. Veja como fica graficamente:

Passo 4 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 1

Passo 5 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

c)

Agora, vamos reduzir à forma canônica:

.

E encontramos a equação de um hiperbolóide de duas folhas. Graficamente, representada dessa forma:

Imagem 1

Passo 6 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

d)

Vamos reduzir à forma canônica:

.

Passo 7 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dividindo por :

E essa é a superfície esférica de raio 6. Veja o gráfico:

Imagem 1

Passo 8 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

e)

Primeiro, reduzir à forma canônica:

.

Na forma canônica:

Assim, temos um parabolóide circular, representado pelo gráfico:

Imagem 1

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f)

Vamos reduzir à forma canônica:

.

Observe que é um parabolóide elíptico.

E assim fica o gráfico da quádrica:

Imagem 1

Passo 10 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

g)

Agora, reduzir à forma canônica:

Dividindo por

E o gráfico é:

Passo 11 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 1

A equação é de um parabolóide hiperbólico.

Passo 12 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

h)

Reduzir à forma canônica:

Agora, vamos dividir por 4:

E plotar o gráfico:

Imagem 1

E encontramos a equação de uma superfície cônica.

Passo 13 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

i)

Passo 14 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Reduzir à forma canônica:

E plotar o gráfico:

Imagem 1

Equação de um hiperbolóide de uma folha.

Passo 15 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

j)

Vamos reduzir à forma canônica:

Assim, teremos:

E, podemos representar a quádrica da seguinte forma:

Passo 16 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Imagem 1

Passo 17 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

l)

Vamos reduzir à forma canônica:

Assim, teremos:

Encontramos uma equação de um elipsoide que, graficamente, fica assim:

Imagem 1

Passo 18 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

m)

Vamos reduzir à forma canônica:

Teremos:

E assim, encontramos a equação de um parabolóide circular. Veja o gráfico:

Imagem 1

Passo 19 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

n)

Vamos reduzir à forma canônica:

Encontramos a equação de uma superfície cilíndrica hiperbólica. A quádrica fica assim:

Imagem 1

Passo 20 de 20keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

o)

Reduzir à forma canônica:

Equação de dois planos:

Graficamente, a quádrica fica representada dessa forma:

Imagem 1

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.