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Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Dinâmica - 9ª Ed. 2012

Exercícios resolvidos: Mecânica Vetorial Para Engenheiros - Dinâmica - 9ª Ed. 2012

Ferdinand BeerIBSN: 9788580551433

Elaborado por professores e especialistas

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Existem várias formas de se resolver este problema, sendo que a mais simples, para o item (a), consiste na aplicação do teorema dos eixos perpendiculares. O teorema afirma que dados três eixos, X, Y e Z, perpendiculares entre si, se o corpo analisado está sobre um plano, por exemplo, XY, então a seguinte igualdade é válida:

Onde , e denotam os momentos de inércia com relação aos eixos Z, X e Y respectivamente.

Vamos para os cálculos! Acompanhe!

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Para a aplicação do teorema será mais fácil começar a resolução do exercício pelo item (b), que solicita o momento de inércia do corpo em relação ao eixo CC’. Veja que o corpo está sobre o plano AB, assim, de acordo com o teorema dos eixos perpendiculares, podemos escrever:

Passo 3 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos calcular lembrando que a equação para o momento de inércia é dada por:

Sendo r a distância até o eixo de rotação ao redor do qual o corpo irá descrever o movimento de giro.

Passo 4 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para determinarmos dm, precisamos da densidade superficial do corpo (ρ), que será dada por m/A, sendo m a massa do corpo e A sua área superficial total:

Passo 5 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Ao redor do nosso eixo CC’, o elemento infinitesimal de massa pode ser escolhido como sendo um círculo de raio r e espessura infinitesimal dr conforme mostrado na figura a seguir:

Imagem 6

Passo 6 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com base nas considerações feitas até aqui, nosso elemento de massa pode ser calculado como sendo:

Sendo a área infinitesimal mais escura mostrada na figura.

Passo 7 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O momento de inércia em relação ao eixo CC’ então, será dado por:

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Integrando-se de até , teremos:

Quando reorganizamos a expressão, encontramos:

Passo 9 de 10keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, para o item (b), a resposta é: .

Agora, para encontrarmos a resposta do item (a), lançaremos mão do teorema dos eixos perpendiculares, que foi mencionado no início da resolução. Veja na figura anterior, que os eixos AA’ (que pode ser associado a X) e BB’ (que pode ser associado a Y) são completamente simétricos, e, portanto, assim, o teorema nos diz que:

Como , teremos:

Assim:

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Portanto, para o item (a), a resposta é: .

Depoimentos de estudantes que já assinaram o Exercícios Resolvidos

Nathalia Nascimento fez um comentárioCEFET/RJ • Engenharia
Foi um apoio àquelas aulas que não acabam totalmente com as dúvidas ou mesmo naquele momento de aprender o conteúdo sozinha. Além disso, dispensou a necessidade de um orientador e por isso, permitiu que eu estudasse em qualquer local e hora.
Valdivam Cardozo fez um comentárioUFRB • Engenharia
Tive uma sensação maior de autonomia nos estudos, as vezes era frustante não conseguir resolver uma determinada questão e nem sempre os professores corrigem as listas que passam.