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Microeconomia

Exercícios resolvidos: Microeconomia

Robert Pindyck, Daniel Rubinfeld IBSN: 9788543000282

Elaborado por professores e especialistas

Exercício

Quais das seguintes funções utilidade são coerentes com as curvas de indiferença convexas e quais não são?

a. U(X,Y) = 2X + 5Y


b. U(X,Y) = (XY)0,5


c. U(X,Y) = Mín(X,Y), onde Mín corresponde ao mínimo de ambos os valores de X e Y.

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Iremos verificar se as funções de utilidade a. , b. e c. geram curvas de indiferença convexas ou não. Para isso, consideramos o conceito de convexidade, segundo o qual uma curva será convexa se qualquer reta ligando dois pontos desta curva estiver tão ou mais afastada do eixo do que a própria curva, e esboçando cada uma das curvas de indiferença relacionas às funções apresentadas, a fim de verificar se esse conceito se aplica.

Passo 2 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

a.

Para verificarmos se as funções utilidade do enunciado geram curvas de indiferença convexas, precisamos considerar o conceito de convexidade: uma curva de indiferença será convexa se qualquer reta ligando dois pontos desta curva estiver tão ou mais afastada do eixo do que a própria curva. Assim, ao longo da nossa resolução esboçaremos o gráfico da função de utilidade apresentada no exercício, para facilitar a visualização desta propriedade. Caso ao traçarmos uma reta ligando dois pontos do gráfico obtivermos valores tão ou mais afastados do eixo do que o próprio gráfico, podemos afirmar que a função representa uma curva de indiferença convexa.

Passo 3 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos então representar graficamente a preferência dada por , a fim de identificar se ela é convexa ou não. Para isso, podemos considerar um nível de utilidade igual a , de forma que teremos:

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Realocando os termos da equação de modo a isolar , obtemos a equação abaixo:

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Considerando a equação encontrada no passo anterior, conseguimos representá-la na forma gráfica: a função de utilidade dada é linear, ou seja, representa uma reta. Além disso, com a reordenação da equação conseguimos isolar o coeficiente linear ou intercepto ( ) , que representa o ponto onde a curva cruza o eixo quando é igual a zero; e o coeficiente angular da reta ( ), que equivale à inclinação da reta.

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Conhecendo o formato da curva e os coeficientes linear e angular, podemos desenhar o gráfico que representa essa função de utilidade para o nível de utilidade .

Imagem 1

Neste gráfico é possível observar que, para quaisquer dois pontos da curva que tentarmos ligar, estaremos sobrescrevendo uma nova reta sobre a própria curva , de forma que a função utilidade é convexa.

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Finalizando, podemos afirmar que a curva de indiferença será convexa, pois qualquer combinação de dois pontos dessa curva será tão distante do eixo quanto a própria curva.

Passo 8 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

b.

Para avaliar a convexidade ou não da curva de utilidade , seguiremos nesta alternativa os procedimentos desenvolvidos na alternativa anterior, isto é, partiremos do esboço do gráfico desta curva de utilidade, a fim de verificar se é possível obter ao traçar uma reta ligando dois pontos do gráfico e obter um valor pelo menos tão distante quanto o próprio gráfico.

Passo 9 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A função representa uma função de utilidade não-linear, de forma que obteremos um gráfico em formato de hipérbole. Realocando as preferências dadas por , considerando um nível de utilidade , teremos:

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Realocando os termos da equação de modo a isolar :

Podemos usar a equação do passo anterior, para desenhar o gráfico que representa essa função de utilidade para o nível de utilidade . Observa-se então que se traçarmos uma reta ligando dois pontos da curva de indiferença (por exemplo, pontos e , como apresentado no gráfico), a reta encontrada estará mais afastada do eixo do que a curva , de forma que essa função é convexa.

Imagem 8

Devemos destacar nesta segunda alternativa que a curva de indiferença não é apenas convexa, mas também estritamente convexa; isso ocorre quando qualquer ponto da reta trançada (exceto os originais sobre a própria curva de indiferença) fornece um nível de utilidade maior que o da curva .

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Portanto, a curva de indiferença será estritamente convexa, visto que qualquer combinação média de dois pontos dessa curva fornecerá um nível de utilidade superior ao da curva de indiferença.

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c.

A fim de identificarmos se a curva de indiferença é convexa, partimos do desenho desta curva e buscamos verificar se ela obedece a essa propriedade, traçando uma reta qualquer ligando dois pontos da curva e buscando observar se essa reta fornece um nível pelo menos igual ao da curva esboçada. Para isso precisamos lembrar que funções desse tipo têm o formato de , sendo utilizada para representar bens complementares (dois bens são complementares se o aumento de preços de um leva a uma queda na quantidade demandada do outro ou, em outras palavras, quando os dois bens forem consumidos conjuntamente).

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Podemos desenhar a curva de indiferença, então, considerando um nível de utilidade , de forma que:

É interessante observar, nesse caso, que o nível de utilidade aumenta apenas se o consumidor puder consumir uma quantidade maior de ambos os bens: aumentos a2penas de ou apenas de não aumentam o nível de satisfação do consumidor.

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Considerando o formato da curva de indiferença, podemos então desenhá-la:

Imagem 2

Nesse gráfico é possível observar que qualquer reta traçada ligando dois pontos da curva de indiferença apresentará pelo menos o mesmo nível de satisfação : por exemplo, se ligarmos os pontos e obteremos uma reta que apresenta cestas com nível de utilidade maior do que , e se ligarmos, por exemplo, os pontos e , desenharemos uma reta sobrescrita à curva de utilidade ; assim podemos afirmar que essa curva de indiferença é convexa.

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Finalmente, a curva de indiferença é convexa, visto que qualquer combinação linear de pontos dessa curva apresentará uma utilidade pelo menos tão preferida quanto a representada pela própria curva .