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Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1

L LeitholdIBSN: 9788529400945

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A figura 1 a seguir representa uma folha-de-flandres com as indicações de suas medidas e as dos quadrados que serão recortados em cada canto. A figura 2 representa uma lata já montada.

Imagem 7

Imagem 6

Queremos encontrar o valor de x que nos dará o volume máximo da lata. Vamos encontrar este volume no seguinte passo.

O volume V de uma figura cúbica é dado pela multiplicação de suas três dimensões:

Esta função nos fornece o volume da lata.

O volume V da lata está em função da medida x da folha, então podemos escrever:

Passo 2 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observando a figura 1, percebemos que o lado menor da folha-de-flandres mede 8 cm.

Serão retirados dois quadrados de medida do lado igual a x. Então, no máximo x poderá ser igual a 4cm.

Assim, a função que fornece o volume da lata, V(x), existirá apenas no intervalo fechado [0,4].

Como V(x) é contínua no intervalo fechado [0,4], podemos aplicar o teorema do valor extremo.

Segundo o teorema, o valor máximo absoluto da função ocorrerá em um número crítico de V(x), ou em algum extremo do intervalo.

Passo 3 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para encontrar os números críticos da função, precisamos derivar V(x) e encontrar os valores de x, para os quais V’(x) = 0 ou V’(x) não existe.

V’(x) existe para todo x do intervalo. Então, façamos V’(x) = 0:

Calculando o discriminante :

Passo 4 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Os números críticos de V(x) são 6 e , mas somente pertence ao intervalo [0,4].

O valor máximo absoluto de V(x) em [0,4] precisa ocorrer em um dos números críticos ou em um dos extremos.

Passo 5 de 5keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O valor máximo de x, comprimento do lado do quadrado, deve ser igual a cm.

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