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Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1

L LeitholdIBSN: 9788529400945

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Primeiramente, vamos encontrar o domínio da função f.

Como o denominador deve ser diferente de zero, temos:

Passo 2 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o domínio de f é:

Passo 3 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 4 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como a função f não está definida para , vamos verificar que o gráfico dessa função possui uma assíntota vertical em . Temos:

Passo 5 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f.

Passo 6 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para verificar se existem assíntotas horizontais, devemos calcular os limites de f quando e . Temos:

Logo, o gráfico de f não possui assíntotas horizontais.

Passo 7 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

O grau do numerador de f é um a mais que o grau do denominador. Logo, o gráfico de f possui uma assíntota oblíqua. Para encontrá-la, vamos dividir o numerador de f pelo seu denominador:

Como:

Passo 8 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Temos que a reta é uma assíntota oblíqua do gráfico de f.

Passo 9 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos calcular as derivadas primeira e segunda de f:

Passo 10 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A fim de fazer um esboço do gráfico da função f, devemos encontrar seus números críticos. Para isso, resolvemos a equação :

Logo, os números críticos de f são e .

Passo 11 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos utilizar o teste da derivada segunda para encontrarmos os extremos relativos de f. Temos:

Logo, f possui um valor máximo relativo em e um valor mínimo relativo em .

Passo 12 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como a derivada segunda de f nunca se anula, o gráfico dessa função não possui pontos de inflexão.

Para estudarmos a concavidade do gráfico de f, vamos analisar o que acontece para valores menores e maiores que , valor que não pertence ao domínio de f. Observemos a tabela:

-

+

Passo 13 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para fazer um esboço do gráfico, vamos resumir nossas informações na tabela a seguir:

f

f'

f"

Conclusão

+

-

f é crescente;

o gráfico é côncavo para baixo

0

0

-2

f tem um valor máximo relativo;

o gráfico é côncavo para baixo

-

-

f é decrescente;

o gráfico é côncavo para baixo

Não existe

Não existe

Não existe

o gráfico possui uma assíntota vertical

-

+

f é decrescente;

o gráfico é côncavo para cima

4

0

2

f tem um valor mínimo relativo;

o gráfico é côncavo para cima

+

+

f é crescente;

o gráfico é côncavo para cima

Passo 14 de 14keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos concluir que a função f possui o seguinte gráfico:

Imagem 4

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