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O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1

L Leithold IBSN: 9788529400945

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sejam , e uma partição do intervalo dada por.

Seja o ponto médio do i-ésimo subintervalo , ou seja, . Vamos considerar um retângulo cuja altura é unidades e comprimento unidades. Se esse retângulo girar em torno do eixo , o invólucro cilíndrico será gerado pelo elemento retangular de área .

Se considerarmos a medida de volume do invólucro cilíndrico, temos que:

. (1)

Passo 2 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sendo , teremos a expressão na forma:

(2)

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como e , então a expressão fica na forma:

(3)

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Se elementos retangulares de área girarem em torno do eixo , então serão obtidos invólucros cilíndricos e sua soma será:

(4)

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Aplicando o limite em (4), teremos o volume será dado pela integral:

.

Passo 6 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para o conjunto em questão temos:

Passo 7 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto:

.