Resolvido: O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1 | Cap 8.5 Ex 1E
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O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica Vol. 1

L Leithold IBSN: 9788529400945

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E usamos a seguinte definição:

a função inversa do seno hiperbólico, denotada por , é definida da seguinte forma:

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

se, e somente se, .

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, da definição da função inversa do seno hiperbólico, temos que:

e, aplicando a definição de que podemos escrever a função seno hiperbólica em termos de funções exponenciais, temos que:

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos, então, à prova da fórmula.

Vamos partir da seguinte expressão:

......

Multiplicando ambos os lados de por , temos que:

.

Uma vez que pode ser escrito como , temos que:

. ......

Tirando o mínimo múltiplo comum de , temos que:

Logo, segue que:

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos tomar a seguinte convenção, . Logo:

Lembramos a fórmula que nos dá as raízes da equação do 2º grau , que é:

Assim, utilizando essa fórmula, segue que:

.

Como chamamos , segue que:

Temos que, por definição, a função exponencial e a função logarítmica são inversas uma da outra. Dessa forma, ao multiplicarmos a função logarítmica em ambos os lados da igualdade, temos que:

assim, segue que:

Como inicialmente definimos a função inversa do seno hiperbólico como e a denotamos por .

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, temos que:

.

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