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Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este exercício, vamos lembrar que uma sequência é uma função , que associa a cada número natural um valor dado por um real, aqui denotado por . Neste caso, para este primeiro exercício, precisamos apenas calcular o valor da função nos valores indicados. Isto é, começamos determinando os quatro primeiros termos da sequência.

Assim, os quatro primeiros termos são a imagem dos números 1, 2, 3 e 4. Ou ainda, os valores . Vamos lá!

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para a primeira parte da questão, vamos determinar os quatro primeiros termos da sequência, ou seja, a imagem dos números 1, 2, 3 e 4. Para obter essas imagens, devemos substituir o da sequência por cada um desses valores. Vejamos como fica.

Imagem 5

Imagem 8

Portanto, os quatro primeiros termos da sequência são 2; 1; 0,8 e 0,41.

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora vamos determinar se a sequência é convergente. Os quatro primeiros elementos da sequência podem nos dar uma dica de seu comportamento. Neste caso, vemos que os elementos da sequência estão diminuindo. A sequência converge se o limite existe quando o vai para o infinito. Devemos então determinar se o seguinte limite existe:

.

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A função que queremos calcular o limite é uma função racional, ou seja, é divisão de um polinômio por outro. Utilizaremos algumas propriedades de limite.

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para , o numerador é uma constante e o denominador cresce infinitamente, logo,

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para Imagem 13, multiplicamos o numerador e o denominador por .

Como, concluímos que

.

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Vamos finalizar, juntando as informações que conseguimos.

.

Portanto, a sequência é convergente, e converge para .

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