31
O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Nesse exercício foram solicitados os primeiros elementos da sequência de somas parciais da série abaixo e depois disso obter uma fórmula para ela em termo de n.

Passo 2 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sabemos que podemos expressar a soma parcial como sendo:

Passo 3 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto para iremos encontrar que:

Passo 4 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto para iremos encontrar que:

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto para iremos encontrar que:

Passo 6 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto para iremos encontrar que:

Passo 7 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Olhando a expressão do termo da série, podemos reescreve-lá utilizando o método das frações parciais:

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Sendo assim, podemos escrever a soma como sendo:

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observando a soma acima, percebemos que vários termos estão se anulando, com isso é fácil observar que apenas o primeiro e o ultimo termo que irão sobrar:

Passo 10 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos simplificar a expressão acima para:

Passo 11 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Podemos tambem verificar se essa série é convergente, para isso, devemos calcular o seguinte limite:

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como o limite acima é dado por um número, podemos afimar que essa série é convergente, o valor da sua soma é o valor encontrado pelo limite.