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Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

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No capítulo 14, estudamos vetores no plano e equações paramétricas e na seção 14.7, estudamos movimento plano.

Neste exercício, vamos determinar os vetores velocidade e aceleração a partir da parametrização de uma dada curva. Como referência, adotaremos os exemplos 1 e 2 da seção 14.8 do livro texto. Estes exemplos podem ser encontrados nas páginas 834 e 835, respectivamente.

Acompanhe cada item com atenção e bons estudos!

Passo 2 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

Então, podemos calcular o vetor velocidade derivando o vetor posição. Assim, sendo que o vetor posição pode ser determinado a partir da parametrização dada no enunciado da questão, obtemos:

Passo 3 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, a derivada do vetor em função do tempo é:

Passo 4 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o vetor velocidade ao longo da curva é:

Passo 5 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

O vetor aceleração também pode ser determinado via derivada. Agora, podemos calculá-lo como sendo a derivada de segunda ordem do vetor posição ou derivando o vetor velocidade.

Passo 6 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Uma vez definido o vetor velocidade, o vetor aceleração é dado por:

Passo 7 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, o vetor aceleração ao longo da curva é:

Passo 8 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

O modulo do vetor velocidade é uma medida da velocidade escalar no instante sendo dado por:

Passo 9 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Desta forma, finalmente, a velocidade escalar é:

Passo 10 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Agora, o módulo do vetor aceleração no instante é dado por:

Passo 11 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, finalmente, o módulo do vetor aceleração é:

Passo 12 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, as equações paramétricas da trajetória da partícula são:

Agora, ao eliminar t entre as equações paramétricas obtemos a seguinte relação entre e :

Passo 13 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A trajetória pode ser determinada via um gráfico entre e . O gráfico da trajetória foi construído com auxílio do software Excel. Nota-se que foram considerados valores de , que resultaram em valores positivos de .

Passo 14 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Observa-se que além da trajetória da partícula também são apresentadas as representações dos vetores velocidade e aceleração. Os módulos dos vetores foram calculados nas alternativas (c) e (d) e a direção é determinada pelas componentes dos vetores.

Passo 15 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finalmente, no gráfico a seguir são apresentadas: a trajetória da partícula e as representações dos vetores velocidade e aceleração.

Imagem 1

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