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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício, vamos recordar os conceitos de derivada primária e regra da cadeia estudados nesta seção do capítulo. Suas equações e dicas podem ser revisadas na seção Resumo.

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(a)

Então, sendo a função , nós teremos que a derivada primária na direção de será:

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Assim, sua derivada primária na direção de será:

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Já a sua derivada na direção de será:

Passo 5 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, temos que as derivadas primárias de são:

, e

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(b)

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de , e em relação a . Desta forma, sendo assim, temos que:

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Agora, para em relação a teremos:

Passo 8 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E para em relação a teremos:

Passo 9 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, podemos afirmar que as derivadas parciais de , e em relação a são, respectivamente:

, e

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(c)

Agora, vamos utilizar a expressão da regra da cadeia e as derivadas parciais obtidas nos itens anteriores, e nós encontraremos:

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Assim, para expressarmos este resultado em termos das variáveis independentes e , substituiremos , e . Desta forma, sendo assim, teremos:

Passo 12 de 12keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, podemos concluir, então, que a derivada, através da regra da cadeia, é dada pela seguinte forma: