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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para a resolução desse exercício, vamos fazer uso do conceito de incremento e diferencial total para funções de múltiplas variáveis em um ponto . Acompanhe com atenção!

Passo 2 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(a)

O incremento de uma função de duas variáveis e no ponto é dado por:

......(1)

Passo 3 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

A função com a qual vamos trabalhar é a seguinte:

......(2)

Passo 4 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Basta aplicarmos o conceito apresentado em na função para o ponto :

Passo 5 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Logo, nossa resposta para o incremento de em é:

Passo 6 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(b)

Bom, com a expressão do incremento de encontrada no item anterior, podemos determinar o valor de para os valores específicos de e . E como faremos isso? Pois vamos substituir os valores de e em :

Passo 7 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, , para os valores de e , é .

Passo 8 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(c)

Neste item, vamos aplicar o conceito de diferencial de uma função de duas variáveis e , expresso por e dado por:

......(4)

Passo 9 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Calculamos a derivada parcial de :

Passo 10 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Fazemos o mesmo para :

Passo 11 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

E agora substituímos e em :

......(7)

Passo 12 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finalmente, para o ponto , temos:

Passo 13 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dessa forma, o diferencial total da função no ponto é dado por:

Passo 14 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

(d)

Com a expressão , vamos calcular o diferencial de no ponto para valores específicos de e . Para , a partir de , temos:

Passo 15 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, o diferencial total da função no ponto e incrementos e é .