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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

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Para resolver o problema, vamos colocar em prática nossos conhecimentos sobre plano tangente e reta normal a superfícies. Para isso, precisamos lembrar de que, dada uma superfície de função , o plano tangente a em um ponto é o plano que passa por e tem o como vetor normal. Então, o plano tangente tem como equação:

Além disso, sabemos que a reta normal à superfície deve ser paralela ao vetor gradiente. Então, vamos para a solução! Acompanhe!

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Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função :

Passo 3 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Como queremos o gradiente da função no ponto , temos:

Passo 4 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Substituímos as componentes do gradiente, que são as derivadas parciais, e o ponto na equação do plano tangente, obtemos:

Passo 5 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a equação do plano tangente é .

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Bom, agora para calcularmos a reta normal à superfície, vamos utilizar as equações simétricas da reta normal, dadas por:

Observe que as derivadas parciais são as componentes do vetor gradiente.

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Substituímos para os valores do problema e obtemos:

Passo 8 de 8keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, a equação do plano tangente é dada por e as equações da reta normal à superfície no ponto são .