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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para resolver este exercício, vamos utilizar nossos conhecimentos básicos sobre gradientes, colocando em prática o teorema 17.6.1. Neste caso específico, será utilizado o método de resolução presente no exemplo 2 desta secão.

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Então, vamos começar conferindo se o vetor é, de fato, um gradiente. Portanto iremos calcular as derivadas parciais e :

Assim, pelo teorema 17.6.1, concluímos que é gradiente de .

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, para encontrarmos correspondente à , tomaremos como base a equação (1) desta seção, logo:

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na sequência, vamos integrar em relação à , e logo depois, derivar em relação a , para ter:

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora, basta igualar as expressões e para, através de integração, definir :

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Feito isso (descoberto ), vamos substituir na expressão e, assim, encontraremos :

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Portanto, podemos concluir que o vetor é gradiente da função , que é dada por: