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Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L LeitholdIBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para solucionar este exercício, você precisa em primeiro lugar visualizar a região da superfície para a qual vai calcular a área. Em seguida, vai definir os limites de integração, da região no plano , que limita a superfície. Depois, vai aplicar os dados na fórmula da integral usada para efetuar esse tipo de cálculo. Vamos juntos!

Passo 2 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Abaixo, está uma ilustração na qual é possível observar a superfície requerida pelo exercício.

Imagem 1

Passo 3 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para plotar esse gráfico em três dimensões, foi utilizada a ferramenta GeoGebra onde, na opção de janela de visualização 3D, foi digitada na barra de entrada a equação da superfície principal e das superfícies limitantes.

Passo 4 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Na ilustração mostrada no passo anterior, o plano que aparece em vermelho é o de equação e os outros em azul são os planos , , e . A área da superfície do plano em vermelho limitada pelos planos em azul é a que você vai calcular nesse exercício.

Passo 5 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Agora é preciso saber qual a região do plano que limita a superfície de que estamos tratando. De acordo com o gráfico 3D mostrado, podemos observar que essa região é a seguinte:

Imagem 2

Para plotar esse gráfico, foi utilizada a ferramenta GeoGebra, onde foi digitado na barra de entrada a equação que define a região do plano que limita a superfície de que estamos tratando.

Observe que os limites da região são: e .

Passo 6 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

De posse dos dados encontrados, você pode agora aplicá-los na fórmula . Assim, sendo a função e e suas derivadas parciais, temos:

Passo 7 de 7keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Enfim, a resposta! Podemos concluir que a área da superfície pedida no exercício é: unidades de área.

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