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O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

Exercícios resolvidos: O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 2

L Leithold IBSN: 9788529402062

Elaborado por professores e especialistas

Passo 1 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Neste exercício precisamos calcular a integral de superfície de G sobre a superfície S dada no enunciado. Para isso, faremos uso do conhecimento obtido no início do capítulo 19.5 além de fazer uso das propriedades e equações definidas nesta parte do capítulo. Para solução desta equação em particular faremos uso da equação (4) do livro:

Passo 2 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Assim, calcularemos a integral de superfície onde G será:

E, nosso S será o hemisfério delimitado por:

Acima do plano xy.

Passo 3 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dando início a resolução, resolveremos a equação de S em z, onde z é maior que 0 (devido ao fato de sabermos que S está acima do plano xy). Assim, isolaremos a variável z na equação de S:

Onde este z será função das duas outras variáveis (x e y), podendo escrever esta equação acima da forma:

Passo 4 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para calcularmos a equação (4), é preciso obter as derivadas parciais de (I) em relação a x e relação a y. Derivando a equação (I) em relação a x, obtemos:

Quando derivamos a mesma equação em relação a y, obtemos:

Passo 5 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com todas variáveis encontradas, daremos início ao cálculo da integral de superfície. Assim, substituiremos os valores encontrados anteriormente na equação 4 do livro.

Passo 6 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com a equação da integral dupla completa, precisamos dar início a resolução desta integral descrita na equação (II). Porém, antes de iniciarmos os cálculos simplificaremos (II) utilizando artifícios algébricos:

Passo 7 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Simplificada a equação (II), precisamos agora, resolver a integral dupla presente na equação:

E, para solucioná-la utilizaremos coordenadas polares, visto que esta estratégia facilita e simplifica nossos cálculos. É feito isto, pois precisamos calcular a área da superfície e, neste caso, coordenadas polares nos ajudarão bastante.

Assim, para transformarmos a equação do passo anterior em coordenadas polares adotaremos as seguintes identidades, visto que nossa função é uma constante:

Passo 8 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Com as duas identidades do passo anterior, podemos modificar nossa integral e definir os

Passo 9 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

limites de integração. O primeiro limite é dado por uma volta em uma circunferência em radianos, pois integraremos em θ. O segundo limite é em função do raio da circunferência que teremos quando consideramos z igual a 0.

Passo 10 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Finalizando as mudanças para trabalharmos com coordenadas polares, utilizando as identidades fornecidas, teremos a seguinte integral para solucionar:

Passo 11 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Daremos início com a resolução da integral mais interna, ou seja, integraremos a função presente na integral em relação a r:

Passo 12 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para concluir a integral, substituiemosr os limites pela variável r, da mesma forma que resolveríamos uma integral definida simples.

Passo 13 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Dando sequência nesta resolução, integraremos em função de θ. De forma equivalente feito no passo anterior.

Passo 14 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Para concluirmos esta solução, é necessário fazer as substituições da integral definida, para solucionarmos a integral de superfície, que foi proposta no enunciado do exercício.

Passo 15 de 15keyboard_arrow_downkeyboard_arrow_up

Concluída a solução do exercício, podemos dizer que a integral de superfície utilizando G(x,y,z) e S como definidos no enunciado, temos:

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